Valószínűleg minden, a matematikát valamennyire ismerő középiskolásnak az értelmezhetetlen, vagy az üres halmaz lenne a válasza az eredményű egyenletre.
Viszont aki mérnöki tudományok elsajátítására adja a fejét, az tanulmányai során nagy valószínűséggel találkozni fog a komplex számok tartományával (is).
Első hallásra tényleg eléggé lehetetlennek hangzik az képlet. Viszont idővel kiderül, hogy valójában nem csak egy matematikai perverzióról van szó, hanem jelentős értéket is rejt a műszaki számításoknál a komplex számok tartománya.
Mielőtt rátérnék, hogy hogyan is borul fel egy olyan rendszer, amit már általánosban is megtanítottak (például hogy egy szám négyzete sosem lehet negatív) előbb helyezzük el a komplex számok tartományát.
A Nemzeti Alaptanterv szerint minden középiskolásnak a tanulmányai során tisztában kell lennie a számok csoportosításával és halmazba történő helyezésével.
forrás: lexiq.hu
Az ábrán is látható, hogy a középiskolai matek a valós számok halmazának az értelmezésénél megáll. Viszont az egész halmaz (beleértve az irracionális számok halmazát is, ami olyan számokat tartalmaz, mint a π vagy az Euler-féle szám) csak egy része a komplex számok halmazának. Amik nyilván a kívülállóknak olyan szokatlan számokat hordoz, mint az előbb említett A komplex számok komplex jellegét mutatja a jelölésük is. Ugyanis a valós számoknál már megszokott X helyett a komplex számok jelöléséhez i/I-t használnak. Amelynek általában -1 a négyzete. Ennek az ellentétje az eset, amikor a komplex szám a végeredmény. Ugyanis az olyan eseteknél -i számít a jelölésnek. Amúgy a komplex számok halmazát C-vel jelölik, ha a halmazukról beszélnek.
A komplex számok halmaza
Természetesen a valódi kérdés akkor is megmarad, a való életben még is hol történik komplex számokkal történő számítás?
A komplex számok a matematikában a valós gyök hiányaként fejezhetők ki. Erre példa az előbb bemutatott egyenlet is. Viszont egyik legnagyobb jelentőségük ennek ellenére még is csak a fizikai használatukban rejlik.
Leggyakrabban az elektronikai számításoknál használják őket, a váltóáram analízisénél. Az elektromos áramkörök számításánál a fáziseltolás és az impedancia leírásához is komplex számokkal szükséges számolni.
Az impedanciát az alábbi alakkal lehet kifejezni:
Ahol az R a valós rész, tehát a valódi ellenállásként érdemes felfogni, az X pedig a képzetes rész, amit meg kell szorozni az imaginárius egységgel, a j-vel, ami a műveletben a komplex számnak felel meg, mivel az elektronikában az helyett j-t használnak a komplex számmal történő műveletekhez.
Mivel a Z imaginárius számként is felfogható, emiatt ennek megfelelően Ohm törvényét és a hálózat teljesítményét is a komplex számok halmazán lehet megoldani váltóáram esetén.
Komplex számokkal történő számításként fogható fel az irányítástechnikában a Fourier és a Laplace transzformáció használata is. Ezen transzformációk segítségével valósul meg, hogy az időbeli jeleket (ilyen például a hanghullám, vagy az elektromos jel) frekvenciatartományban elemezhessünk.
Erre amiatt van szükség, mivel az ilyen időfüggő jelek általában valós értékű függvények, viszont a transzformáció hatására a jel frekvenciaösszetevőit a komplex síkban ábrázolják. Mindezt a komplex számok írják le természetes formában, az Euler formulával felbontva az alábbi módon:
- Ahol A az amplitúdót jelenti (a komplex szám
hossza)
- Φ pedig a fázisszöget (a komplex szám argumentumát)
Lehet, hogy mindezt így ideöntöttem, de még mindig felvetődik az egésznek a gyakorlati használata. Ennek a túlkomplikáltnak tűnő egyenletnek köszönhetően van ma már rádió, telefon, távirányító, MRI és eléggé sok más jelfeldolgozást igénylő eszköz.
Komplex számokat használnak több kvantummechanikai számításhoz is. A klasszikus fizikával ellentétben a kvantummechanikában az állapotokat és a mérések eredményeit komplex számokat is tartalmazó hullámfüggvény írja le. A hullámfüggvényt felhasználva lehet számolni a Schrödinger egyenlettel és a szuperpozíció elvével is.
Természetükből adódóan a komplex számoknak lehetnek kihatásai a matematikában a geometriára és a grafikára is. Mégis a legismertebb alkalmazásuk a köztudatban csak a káoszelméletként ismert nemlineáris dinamikai rendszerekkel foglalkozó egyenlethez kötődik. A káoszelmélet olyan esetekkel foglalkozik, amikor az adott dinamikai rendszer viselkedése az őt meghatározó törvények ellenére sem jelezhető előre. A káoszelmélet segítségével viszont mégis lehetséges az ilyen rendetlenségekben rejlő rendezettséget ábrázolni. Az ilyen ábrázolások termékeiként foghatók fel a fraktálok is. Amelyek a nevüknek megfelelően végtelenül komplex geometriai alakzatok, nem differenciálhatók.
Cikkem befejezéséhez az egyik legismertebb fraktált, a Mandelbrot-halmazt csatolom.
nkatlilla